Calculadora de Empuxos de Terra — Teoria de Coulomb
Charles-Augustin de Coulomb formulou em 1776 a teoria geral de empuxos de terra sobre muros rígidos considerando o atrito entre muro e solo (δ), a inclinação do paramento (α) e a inclinação do aterro (β). É mais realista que Rankine porque inclui três variáveis geométricas chave e reduz o empuxo ativo entre 5% e 15% quando há atrito real no contato. Esta calculadora fornece Ka, Kp, o empuxo total Pa e seu ponto de aplicação para muros de gravidade, encontros de ponte com aterro compactado, muros ancorados e cortinas de estacas-pranchas. Se seu muro é vertical e o atrito muro-solo é desprezível, Rankine é equivalente e mais rápido; nos demais casos use Coulomb.
O que é e quando se aplica?
Coulomb assume que o solo rompe por uma cunha triangular que desliza sobre um plano de ruptura reto desde a base do muro até a superfície do aterro. Estabelecendo equilíbrio de forças na cunha (peso, empuxo sobre o muro e reação no plano de ruptura) obtém-se Ka por maximização e Kp por minimização da função de empuxo. Aplicável em muros de gravidade de concreto ou alvenaria, encontros de ponte, muros em balanço, ancorados e cortinas com aterro de tardoz compactado. Não deve ser usado quando o aterro é heterogêneo em camadas (requer-se método por zonas) ou quando há empuxos sísmicos predominantes (usar Mononobe-Okabe).
Fórmulas aplicadas
Coeficiente ativo (Coulomb):
Ka = cos²(φ − α) / [cos²α · cos(α + δ) · (1 + √(sen(φ + δ)·sen(φ − β) / (cos(α + δ)·cos(α − β))))²]
Coeficiente passivo:
Kp = cos²(φ + α) / [cos²α · cos(α − δ) · (1 − √(sen(φ − δ)·sen(φ + β) / (cos(α − δ)·cos(α − β))))²]
Notação: φ = atrito interno do solo; δ = atrito muro-solo (≈ 2/3 φ em concreto liso, 1/2 φ em concreto muito liso, igual a φ em concreto rugoso); α = inclinação do paramento em relação à vertical (positivo quando o muro se inclina para o solo); β = inclinação do aterro (0 se horizontal).
Empuxo total por peso próprio do aterro:
Pa = 0,5 · γ · H² · Ka (aplica-se a H/3 a partir da base, inclinado δ em relação à normal do paramento)
Componente horizontal e vertical: Pah = Pa · cos(α + δ); Pav = Pa · sen(α + δ)
Exemplo de cálculo
| Parâmetro | Valor |
|---|---|
| Altura do muro H | 5,0 m |
| Peso unitário aterro γ | 19 kN/m³ |
| Ângulo de atrito φ | 34° |
| Atrito muro-solo δ | 2/3 · 34 = 22,7° |
| Inclinação tardoz α | 10° (para o aterro) |
| Inclinação aterro β | 0° |
| Coesão c | 0 |
| Nível freático | Não detectado |
Calculamos Ka com os ângulos em radianos: cos²(φ − α) = cos²(34 − 10) = cos²24° = 0,835. cos²α = cos²10° = 0,970. cos(α + δ) = cos(10 + 22,7) = cos(32,7°) = 0,841. sen(φ + δ) = sen(56,7°) = 0,836. sen(φ − β) = sen(34 − 0) = 0,559. cos(α − β) = cos(10°) = 0,985. Numerador: 0,835. Denominador raiz: (0,836·0,559)/(0,841·0,985) = 0,467/0,828 = 0,564; √0,564 = 0,751. (1 + 0,751)² = (1,751)² = 3,066. Denominador total: 0,970 · 0,841 · 3,066 = 2,501. Ka = 0,835 / 2,501 = 0,334. Comparação com Rankine (mesmos dados sem δ nem α): Ka-Rankine = tan²(45 − 17) = tan²28° = 0,283. Diferença +18% porque o tardoz está inclinado. Com a componente real, o empuxo projetado sobre a horizontal resulta menor: Pa = 0,5 · 19 · 5² · 0,334 = 0,5 · 19 · 25 · 0,334 = 79,3 kN/m. Componentes: Pah = 79,3 · cos(32,7°) = 79,3 · 0,841 = 66,7 kN/m; Pav = 79,3 · sen(32,7°) = 79,3 · 0,540 = 42,8 kN/m. O Pav é favorável ao muro porque aumenta o peso efetivo resistente ao deslizamento.
Resultado: Ka = 0,334 · Pa = 79,3 kN/m · Pah = 66,7 kN/m · Pav = 42,8 kN/m (favorável).
Interpretação dos resultados
A componente vertical do empuxo (Pav) só existe quando δ ≠ 0 e é sempre favorável ao muro: aumenta a carga vertical sobre a fundação e, por conseguinte, a força de atrito resistente ao deslizamento. Por isso um muro com tardoz rugoso (δ alto) é melhor que um liso com a mesma geometria. Para dimensionamento conservador ao deslizamento convém reduzir δ para 1/2·φ; para tombamento mantém-se 2/3·φ. Em estruturas temporárias (escoramentos, cortinas de estacas-pranchas provisórias) usa-se δ = 0 como hipótese conservadora.
Normativas de referência
- ABNT NBR 6122 — Projeto e execução de fundações
- Coulomb, C.A. (1776). Essai sur une application des règles de maximis et minimis
- ABNT NBR 6122 — Projeto de fundações e muros de contenção (anexo de empuxos)
- ABNT NBR 6484 — Sondagem de simples reconhecimento com SPT
- ABNT NBR 7181 — Análise granulométrica de solos
- ABNT NBR 6459 — Determinação do limite de liquidez
- ABNT NBR 7180 — Determinação do limite de plasticidade
- ABNT NBR 6502 — Rochas e solos — Terminologia
- ABNT NBR 13292 — Solo — Determinação do coeficiente de permeabilidade
- ABNT NBR 14545 — Solo — Determinação do coeficiente de permeabilidade de solos granulares à carga constante
- ABNT NBR + ISO 22476-1 — Ensaios de penetração de cone (CPT)
- ABNT NBR + ASTM D3080 — Ensaio de cisalhamento direto
- ABNT NBR 12007 — Execução de ensaio de compactação de solos
- NAVFAC DM-7.2 (1986) — Foundations and earth structures, para tabelas de δ típicas
Perguntas frequentes
Qual valor de δ uso na prática?
Em muros de concreto moldado contra solo granular: δ ≈ 2/3·φ. Em concreto muito liso ou quando há geomembrana: δ ≈ 1/2·φ. Em alvenaria de pedra rugosa: δ ≈ φ. Para aço (estacas-pranchas) em areia: δ = 17-22° típico. NAVFAC DM-7.2 possui tabelas completas. Valor zero reserva-se para dimensionamento temporário conservador.
Coulomb também serve para empuxo passivo?
Sim, mas com uma ressalva: Coulomb superestima Kp quando δ é grande. Para δ > φ/3 convém usar o método da curva logarítmica espiral (Caquot-Kerisel 1948) que é mais preciso. Em dimensionamento de muros ancorados e cortinas de estacas-pranchas de portos usa-se sempre Caquot-Kerisel para empuxo passivo.
Como trato múltiplas camadas de aterro?
Coulomb clássico assume um único material homogêneo. Para aterro em camadas com diferentes φ e γ calcula-se o empuxo por trechos (cada estrato) somando as contribuições. Alternativa mais precisa: método da cunha com superfície de ruptura bilinear ou, diretamente, análise por elementos finitos com software geotécnico.
O que acontece se o aterro tiver coesão?
Coulomb com coesão torna-se mais complexo porque aparece uma zona de tração próxima ao coroamento e requer-se encontrar o plano crítico iterativamente. Na prática despreza-se a coesão no aterro (geralmente areia limpa compactada por exigência) e dimensiona-se conservadoramente apenas com φ. Se o aterro for coesivo por obrigação do local, use Rankine com a expressão de trinca de tração ou ferramenta numérica.